漸化式のパターン その2

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漸化式のパターン その1」の続きです。

 

もう一度、漸化式の解き方をおさらいしましょう。

 

パターン1:特性方程式

パターン2:階差数列の一般項

パターン3:置き換え

 

練習問題

(3)漸化式 an+1=pan+qn ‥‥ パターン3

 

【問】
1=6,  an+1=2an+3n

 

【解】
漸化式an+1=2an+3n の両辺を 3n+1 で割ると

(an+1/3n+1)=(2an/3n+1)+(1/3) より (an+1/3n+1)=(2/3)・(an/3n)+(1/3)

n=an/3n  とおくと   bn+1=(2/3bn)+(1/3)

特性方程式は c=(2/3c)+(1/3) より c=1 であるから

n+1=(2/3)(bn)

よって, 数列{bn-1}は 初項 b1-1=(a1/3)-1=1 , 公比2/3 の等比数列である。

n-1=1・(2/3)n-1 より bn=(2/3)n-1+1

したがって an=3・bn=3・2n-1+3n

 


(4)漸化式 an+1=ran/(pan+q) ‥‥ パターン3

 

【問】
1=1,  an+1=4an/(2an+3)

 

【解】
1>0 であるから, すべての自然数について an>0

両辺の逆数をとると  (1/an+1)=(3/4an)+(1/2)

1/an=bn とおくと  bn+1=(3/4bn)+(1/2)

よって, 数列{bn-2}は 初項  b1-2=1-2=-1, 公比 3/4 の等比数列である。

n-2=(-1)・(3/4)n-1 より bn=2-(3/4)n-1

したがって  an=1/bn=1/2-(3/4)n-1

 


(5)係数が変数である漸化式 ‥‥パターン2・3

 

【問】
1=1,   (2n-1)an+1=(2n+1)an+2

 

【解】
両辺を (2n-1)(2n+1) で割る

{an+1/(2n+1)}={an/(2n-1)}{2/(2n-1)(2n+1)} ‥‥①

n=an/2n-1  とおくと

n+1=an+1/(2n+1) であるから

①より bn+1-bn=2/(2n-1)(2n+1)

よって, n≧2 のとき

n=b1+Σ2/(2k-1)(2k+1)  ←k=1 から n-1

=(a1/1)+Σ{1/(2k-1)-1/(2k+1)}

=2-(1/2n-1)=(4n-3)/(2n-1)

これは n=1 のときも成り立つ。

したがって an=(2n-1)bn=4n-3

 


(6) 隣接3項間漸化式 ‥‥ パターン1or2

 

【問】
1=0, a2=1, an+2-an+1-6an=0

 

【解】
特性方程式は 2-c-6=0 より c=-2, 3

よって, 漸化式を変形すると

n+2n+1-2(an+1n) ‥‥①

n+2+2n+1(an+1+2n) ‥‥②

①より, 数列{an+1―3an は  初項 1, 公比 -2 の等比数列であるから

n+1―3an=(-2)n-1 ‥‥③

②より, 数列{an+1+2an は初項 1, 公比 3 の等比数列であるから

n+1+2an=3n-1 ‥‥④

④-③ より  5an=3n-1-(-2)n-1

したがって  an={3n-1-(-2)n-1/5}

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