漸化式のパターン　その１

次の条件によって定められる数列 {a_n} の一般項を求めよ。

（１） ａ₁＝１,  ａ_n+1＝２ａ_n－３

（２）ａ₁＝１,  ａ_n+1＝３ａ_n＋ｎ－２

（３）ａ₁＝６,  ａ_n+1＝２ａ_n＋３ⁿ

（４）ａ₁＝１,  ａ_n+1＝４ａ_n／２ａ_n＋３

（５）ａ₁＝１,  (２ｎ－１)ａ_n+1＝(２ｎ＋１)ａ_n＋２

（６）ａ₁＝０,  ａ₂＝１,  ａ_n+2－ａ_n+1－６ａ_n＝０

この問題すべて解けますか？

これらは漸化式の問題です。

漸化式って苦手なんだよね‥‥という声、よく聞きます。

そこで、ここでは漸化式のパターン(これさえ押さえておけば大丈夫！) を解説します。

まず最初に、漸化式をいつ使うのか説明します。

数列は以下の４パターンに分類することができます。

１．等差数列

２．等比数列

３．階差数列

４．その他

この【４．その他】で漸化式を使います。

数列の一般項の賢い求め方

漸化式は以下のパターンを組み合わせることで解けることを押さえましょう。

パターン１：特性方程式

パターン２：階差数列の一般項

パターン３：置き換え

※特性方程式とは‥‥ａ_n, ａ_n+1 を ｃ に置き換えてできる方程式 　ａ_n+1－ｃ＝ｐ(ａ_n－ｃ)

これを踏まえて、先ほどの問題を見てみましょう。

（１）隣接２項間漸化式　ａ_n+1＝ｐａ_n＋ｑ   ‥‥ パターン１or２

【問】
ａ₁＝１,  ａ_n+1＝２ａ_n－３

【解】
特性方程式は ｃ＝２ｃ－３  より,  ｃ＝３

よって, 漸化式を変形すると　ａ_n+1－３＝２(ａ_n－３)

ｂ_n＝ａ_n－３　とおくと　　ｂ_n+1＝２ｂ_n ,　ｂ₁＝ａ₁－３＝－２

ゆえに, 数列｛ｂ_n｝初項 －２, 公比 ２ の等比数列である。

ｂ_n＝－２・２^n-1＝－２ⁿ

したがって　　ａ_n＝ｂ_n＋３＝－２ⁿ＋３

（２） 漸化式　ａ_n+1＝ｐａ_n＋ｑｎ＋ｒ　‥‥　パターン１and２

【問】
ａ₁＝１,  ａ_n+1＝３ａ_n＋ｎ－２

【解】
与えられた漸化式で, ｎ＝ｋ＋１,  ｎ＝ｋ  とおくと

ａ_k+2＝３ａ_k+1＋(ｋ＋１)－２

ａ_k+1＝３ａ_k＋ｋ－２

２式の辺々をひくと　　　ａ_k+2－ａ_k+1＝３(ａ_k+1－ａ_k)＋１

ａ_k+1－ａ_k＝ｂ_k とおくと

ｂ_k+1＝３ｂ_k＋１　(ｋ＝１,２,３, ‥‥)　‥‥①　　　　

特性方程式 は ｃ＝３ｃ＋１ より,   ｃ＝－１／２

よって, ①を変形すると　　ｂ_k+1＋１／２＝３(ｂ_k＋１／２)

ｂ₁＝ａ₂－ａ₁＝２－１＝１

ゆえに, 数列｛ｂ_k＋１／２｝ は, 

初項 ｂ₁＋１／２＝３／２　　公比３の等比数列である。

ｂ_k＋１／２＝(３／２)・３^k-1　より　ｂ_k＝(３／２)・３^k-1－１／２

よって, ｎ≧２ のとき

ａ_n＝１＋Σ(３／２・３^k-1－１／２)　　←ｋ＝１ からｎ－１

=１＋(３／２)・｛(３^n-1－１)／(３－１)｝－｛１／２(ｎ－１)｝＝３ⁿ－２ｎ＋３／４

これは ｎ＝１ のときも成り立つ。

したがって　　ａ_n＝３ⁿ－２ｎ＋３／４

（１）（２）はどちらも特性方程式を使っていましたね。

続きは「漸化式のパターン　その２」へ

By スタッフ01