漸化式のパターン その1

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次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。

(1) a1=1,  an+1=2an-3

(2)a1=1,  an+1=3an+n-2

(3)a1=6,  an+1=2an+3n

(4)a1=1,  an+1=4an/2an+3

(5)a1=1,  (2n-1)an+1=(2n+1)an+2

(6)a1=0,  a2=1,  an+2-an+1-6an=0

 

この問題すべて解けますか?

これらは漸化式の問題です。

漸化式って苦手なんだよね‥‥という声、よく聞きます。

そこで、ここでは漸化式のパターン(これさえ押さえておけば大丈夫!) を解説します。

 

数列の一般項

 

まず最初に、漸化式をいつ使うのか説明します。

数列は以下の4パターンに分類することができます。

1.等差数列

2.等比数列

3.階差数列

4.その他

 

この【4.その他】で漸化式を使います。

数列の一般項の賢い求め方

 

 

漸化式の使い方

 

漸化式は以下のパターンを組み合わせることで解けることを押さえましょう。

パターン1:特性方程式

パターン2:階差数列の一般項

パターン3:置き換え

※特性方程式とは‥‥an, an+1 を c に置き換えてできる方程式  an+1-c=p(an-c)

 

これを踏まえて、先ほどの問題を見てみましょう。

 

練習問題

 

(1)隣接2項間漸化式 an+1=pan+q   ‥‥ パターン1or2

 

 

【問】
1=1,  an+1=2an-3

 

【解】
特性方程式は c=2c-3  より,  c=3

よって, 漸化式を変形すると an+1-3=2(an-3)

n=an-3 とおくと  bn+1=2b, b1=a1-3=-2

ゆえに, 数列{bn初項 -2, 公比 2 の等比数列である。

n=-2・2n-1=-2n

したがって  an=bn+3=-2n+3

 


(2) 漸化式 an+1=pan+qn+r ‥‥ パターン1and2

 

【問】
1=1,  an+1=3an+n-2

 

【解】
与えられた漸化式で, n=k+1,  n=k  とおくと

k+2=3ak+1+(k+1)-2

k+1=3ak+k-2

2式の辺々をひくと   k+2-ak+1=3(ak+1-ak)+1

k+1-ak=bk とおくと

k+1=3bk+1 (k=1,2,3, ‥‥) ‥‥①    

特性方程式 は c=3c+1 より,   c=-1/2

よって, ①を変形すると  bk+1+1/2=3(bk+1/2)

1=a2-a1=2-1=1

ゆえに, 数列{bk+1/2} は, 

初項 b1+1/2=3/2  公比3の等比数列である。

k+1/2=(3/2)・3k-1 より bk=(3/2)・3k-1-1/2

よって, n≧2 のとき

n=1+Σ(3/2・3k-1-1/2)  ←k=1 からn-1

=1+(3/2)・{(3n-1-1)/(3-1)}-{1/2(n-1)}=3n-2n+3/4

これは n=1 のときも成り立つ。

したがって  an=3n-2n+3/4


 

(1)(2)はどちらも特性方程式を使っていましたね。

続きは漸化式のパターン その2

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