数列の一般項の賢い求め方（問題付き）
数列が苦手な人はいませんか？
数列は公式を覚えただけでは解けないので、一見難しそうな単元です。
しかし、実は大事なポイントさえ押さえることができれば
とても面白い単元なのです。
ここでは「数列の一般項の求め方」を学習しましょう。
それはずばり
「数列がどのパターンに属するか」
数列は主に以下の４つのパターンに分類できます。
１．等差数列
２．等比数列
３．階差数列
４．その他（漸化式）
いずれのパターンに属するか見極めることができれば、一般項を求めたも同然です！
１．等差数列
【一定の差で増える（もしくは減る）】
一般項：ａｎ=ａ＋(ｎ̠̠－１)ｄ
（例）１,３,５,７,９, ‥‥
２．等比数列
【一定の比で増える（もしくは減る）】
一般項：ａｎ=ａｒｎ-1
（例）２,４,８,１６,３２, ‥‥
３．階差数列
【前の項と次の項の差に明らかな特徴がある】
（例）２,３,５,８,１２, ‥‥
４．その他（漸化式）
その他の一般項の求め方はこちらで説明しています。
それでは問題を解いていきましょう。
【問題】
次の数列の一般項を求めよ。
２,５,８,１１, ‥‥
【考え方】
この数列は、３ずつ増えているので等差数列である。
【解答】
ａ（初項）=２, ｄ（公差）=３ を代入して
ａｎ＝２＋(ｎ-１)・３
＝３ｎ―１
【問題】
次の数列の一般項を求めよ。
１,３,９,２７, ‥‥
【考え方】
前の項に３をかけると次の項になるので等比数列である。
【解答】
ａ（初項）＝１， ｒ（公比）＝３を代入して
ａｎ＝１・３ｎ-1
＝３ｎ-1
【問題】
次の数列の一般項を求めよ。
１,２,６,１５,３１, ‥‥
【考え方】
後ろの項から前の項をひくと
１,４,９,１６, ‥‥
＝１2,２2,３2,４2, ‥‥
明らかな特徴があるので、階差数列である。
【解答】
ｂｎ＝ｎ2 であるので
ａ（初項）＝１， ｂｎ＝ｎ2 を代入して
【問題】
次の数列の一般項を求めよ。
ａ1＝１, ａn+1＝２ａn－３
【考え方】
この数列は、等差数列でも等比数列でもない。
式もよくわからないので、
その他（漸化式）を用いて一般項を求める。（階差数列でも解けます！）
※解答は【漸化式の求め方】に記載しています。
By スタッフ01