「漸化式のパターン　その１」の続きです。

もう一度、漸化式の解き方をおさらいしましょう。

パターン１：特性方程式

パターン２：階差数列の一般項

パターン３：置き換え

（３）漸化式　ａ_n+1＝ｐａ_n＋ｑⁿ　‥‥　パターン３

【問】
ａ₁＝６,  ａ_n+1＝２ａ_n＋３ⁿ

【解】
漸化式ａ_n+1＝２ａ_n＋３ⁿの両辺を ３ⁿ⁺¹で割ると

(ａ_n+1／３ⁿ⁺¹⁾＝(２ａ_n／３ⁿ⁺¹)＋(１／３)　より　(ａ_n+1／３ⁿ⁺¹)＝(２／３)・(ａ_n／３ⁿ)＋(１／３)

ｂ_n＝ａ_n／３ⁿ  とおくと　　　ｂ_n+1＝(２／３ｂ_n)＋(１／３)

特性方程式は　ｃ＝(２／３ｃ)＋(１／３)　より　ｃ＝１　であるから

ｂ_n+1－１＝(２／３)(ｂ_n－１)

よって, 数列｛ｂ_n－１｝は　初項 ｂ₁－１＝(ａ₁／３)－１＝１　, 公比２／３ の等比数列である。

ｂ_n－１＝１・(２／３)^n-1より　ｂ_n＝(２／３)^n-1＋１

したがって　ａ_n＝３・ｂ_n＝３・２^n-1＋３ⁿ

（４）漸化式　ａ_n+1＝ｒａ_n／(ｐａ_n＋ｑ)　‥‥　パターン３

【問】
ａ₁＝１,  ａ_n+1＝４ａ_n／(２ａ_n＋３)

【解】
ａ₁＞０ であるから, すべての自然数について ａ_n＞０

両辺の逆数をとると　　(１／ａ_n+1)＝(３／４ａ_n)＋(１／２)

１／ａ_n＝ｂ_n とおくと　　ｂ_n+1＝(３／４ｂ_n)＋(１／２)

よって, 数列｛ｂ_n－２｝は　初項  ｂ₁－２＝１－２＝－１, 公比 ３／４ の等比数列である。

ｂ_n－２＝(－１)・(３／４)^n-1より　ｂ_n＝２－(３／４)^n-1

したがって　　ａ_n＝１／ｂ_n＝１／２－(３／４)^n-1

（５）係数が変数である漸化式　‥‥パターン２・３

【問】
ａ₁＝１,   (２ｎ－１)ａ_n+1＝(２ｎ＋１)ａ_n＋２

【解】
両辺を (２ｎ－１)(２ｎ＋１) で割ると

｛ａ_n+1／(２ｎ＋１)｝＝｛ａ_n／(２ｎ－１)｝｛２／(２ｎ－１)(２ｎ＋１)｝　‥‥①

ｂ_n＝ａ_n／２ｎ－１  とおくと

ｂ_n+1＝ａ_n+1／(２ｎ＋１) であるから

①より　ｂ_n+1－ｂ_n＝２／(２ｎ－１)(２ｎ＋１)

よって, ｎ≧２ のとき

ｂ_n＝ｂ₁＋Σ２／(２ｋ－１)(２ｋ＋１)　　←ｋ＝１ から ｎ－１

＝(ａ₁／１)＋Σ｛１／(２ｋ－１)－１／(２ｋ＋１)｝

＝２－(１／２ｎ－１)＝(４ｎ－３)／(２ｎ－１)

これは ｎ＝１ のときも成り立つ。

したがって　ａ_n＝(２ｎ－１)ｂ_n＝４ｎ－３

（６）　隣接３項間漸化式　‥‥　パターン１or２

【問】
ａ₁＝０, ａ₂＝１, ａ_n+2－ａ_n+1－６ａ_n＝０

【解】
特性方程式は　ｃ²－ｃ－６＝０ より　ｃ＝－２, ３

よって, 漸化式を変形すると

ａ_n+2―３ａ_n+1＝－２(ａ_n+1－３ａ_n)　‥‥①

ａ_n+2＋２ａ_n+1＝３(ａ_n+1＋２ａ_n)　‥‥②

①より, 数列｛ａ_n+1―３ａ_n｝ は  初項 １, 公比 －２ の等比数列であるから

ａ_n+1―３ａ_n＝(－２)^n-1 ‥‥③

②より, 数列｛ａ_n+1＋２ａ_n｝ は初項 １, 公比 ３ の等比数列であるから

ａ_n+1＋２ａ_n＝３^n-1　‥‥④

④－③ より　　５ａ_n＝３^n-1－(－２)^n-1

したがって　　ａ_n＝｛３^n-1－(－２)^n-1／５｝

By スタッフ01