図形と方程式の公式まとめ(問題付き)

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「数学Ⅱ|図形と方程式」の公式まとめです。

(下の方に練習問題があります。)

 

 

図形と方程式の公式

●内分する点

A(x1, y1), B(x2, y2) について

線分AB を m:nに内分する点

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●外分する点

A(x1, y1), B(x2, y2) について

線分AB を m:n に外分する点

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●2点間の距離

2点 A(x1, y1), B(x2, y2) の距離

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●直線

点(x1, y1) を通り, 傾き m の直線

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2点 (x1, y1), (x2, y2) を通る直線

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2直線が平行⇔傾きが等しい

2直線が垂直⇔傾きの積が-1


●点と直線の距離

ax+by+c=0 と (x1, y1) との距離は

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●円

中心(a,b),半径rの円

(x-a)2+(y-b)2=r2

 

x2+y2=r2 上の点 (x1, y1) における接線

x1x+y1y=r2

 

 

以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

 

練習問題

【問題】
座標平面上に2点 A(4,4), B(-2,1) がある。

線分ABを1:2に内分する点Cの座標を求めよ。

 

 

【解答】
線分ABを1:2に内分する点Cの座標は

 

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よって

(2,3)

 


【問題】
座標平面上に2点A(4,4), B(-2,1) がある。

線分ABを1:2に外分する点Dの座標を求めよ。

 

 

【解答】
線分ABを1:2に外分する点Dの座標は

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よって

(10,7)

 


【問題】
2点A(4,4), B(-2,1) がある。

線分ABの長さを求めよ。

 

 

【解答】
線分ABの長さは

AB=√(-2-4)2+(1-4)2

=√(-6)2+(-3)2

=√36+9

=√45

=3√5

 


【問題】
点(2,3) を通り,傾き5の直線の方程式を求めよ。

 

 

【解答】
求める方程式は

y-3=5(x-2)

よって

y=5x-7

 


【問題】
2点A(4,4), B(-2,1) を通る直線の方程式を求めよ。

 

 

【解答】

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よって、求める直線の方程式は

y=2x-4

 


【問題】
点(2,4) を通り,直線y=3x-4 に平行な直線の方程式を求めよ。

 

 

【解答】
直線y=3x-4に平行であるから

求める直線の方程式は

y=3x+b

これが、点(2,4) を通るので

4=3・2+b

b=-2

よって、求める直線の方程式は

y=3x-2

 


【問題】
直線x+2y-1=0 と,点A(3,4) との距離を求めよ。

 

 

【解答】

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よって、求める距離は

2√5

 


【問題】
x2+y2=5上の点(2,3) における接線の方程式を求めよ。

 

 

【解答】
x2+y2=5上の点(2,3) における接線の方程式は

2x+3y=5

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