三角関数の公式と語呂合わせまとめ(問題付き)

>

「数学Ⅱ|三角関数」の公式まとめです。

(下の方に練習問題があります。)

 

三角関数の公式

 

●加法定理

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

 

●2倍角

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α
=2cos2α-1
=1-2sin2α

 

●半角

Image

 

●和積の公式

和→積

積→和

 

●合成

asinθ+bcosθ=(√a2+b2)sin(θ+α)

 

 

語呂合わせ

●加法定理

sinを「咲いた」、cosを「コスモス」に置き換えます。

「咲いたコスモスコスモス咲いた」
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

「コスモスコスモス咲かない咲かない」←「咲かない」がポイント!符号が逆になります!
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

 


●和積の公式

① 師は信仰

師(sin)は(和)信(sin)仰(cos)
つまり【sinの和はsin,cos】
先生は敬えという意味かな‥‥たぶん。

 

② 師引っ越し

師(sin)引っ(-)越(cos)し(sin)
つまり【sinの差はcos,sin】
先生が引っ越してしまいました。

 

③ 子は孝行

子(cos)は(和)孝(cos)行(cos)
つまり【cosの和はcos,cos】
子は孝行しなさいということかな。

 

④ 子引く負け獅子

子(cos)引く(-)負け(-)獅(sin)子(sin)
つまり【cosの差は-をつけてsin,sin】
子が綱引きをして獅子に負けたと。それとも獅子が負けたのか?どういう状況よこれ。

 

とまあ、そんな感じで
語呂合わせは覚えていたほうが便利です。

 

それでは公式を覚えたか、練習問題で確認してみましょう。

 

練習問題

【問題】
0<α<( π/2)<β<π である。
sinα=2/3,sinβ=3√5/7のとき,sin(α+β) の値を求めよ。

 

 

【考え方】
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

 

 

【解答】
cos2α=1-sin2α=1-(2/3)2=5/

0<α< π/2 であるから

cosα>0

よって

cosα=√5/3

また

cos2β=1-sin2=1-(3√5/7)2=4/49

π/2<β<π より

cosβ<0

よって

cosβ=-2/7

ゆえに

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

=(2/3)(-2/7)+(√5/3)(3√5/7)

=11/21

 


【問題】
0<α<π/2 である。
sinα=2/3 のとき,sin2α の値を求めよ。

 

 

 

【考え方】
sin2α=2sinαcosα

 

 

 

【解答】
cos2α=1-sin2α=1-(2/3)2=5/9

0<α<π/2 であるから

cosα>0

よって

cosα=√5/3

ゆえに

sin2α=2sinαcosα

=2・(2/3)・(√5/3)

=4√5/9

 


【問題】
0≦θ<2π であるとき、次の関数の最大値、最小値を求めよ。
f(θ)=√2sinθ+√6cosθ

 

 

 

【考え方】
関数を合成して考える。

 

 

 

【解答】
f(θ)=√2sinθ+√6cosθ

Image

0≦θ<2π であるから

π/3≦θ+π/3<7π/3

sin(π/3)≦sin(θ+π/3)<sin(7π/3)

-1≦sin(θ+π/3)≦1

-2√2≦2√2sin(θ+π/3)≦2√2

よって

θ+π/3=π/2

θ=π/6 のとき最大

θ+π/3=3π/2

θ=7π/6 のとき最小をとる。

したがって

最大値 2√2(θ=π/6)

最小値 -2√2(θ=7π/6)

By

コメント

コメントを書く

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

*