三角関数の公式と語呂合わせまとめ（問題付き）
「数学Ⅱ｜三角関数」の公式まとめです。
（下の方に練習問題があります。）
●加法定理
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
●2倍角
sin2α＝２sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α
=２cos2α－１
=１－２sin2α
●半角
●和積の公式
和→積
積→和
●合成
ａsinθ＋ｂcosθ＝(√ａ2＋ｂ2)sin(θ＋α)
●加法定理
sinを「咲いた」、cosを「コスモス」に置き換えます。
「咲いたコスモスコスモス咲いた」
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
「コスモスコスモス咲かない咲かない」←「咲かない」がポイント！符号が逆になります！
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
●和積の公式
① 師は信仰
師(sin)は(和)信(sin)仰(cos)
つまり【sinの和はsin,cos】
先生は敬えという意味かな‥‥たぶん。
② 師引っ越し
師(sin)引っ(－)越(cos)し(sin)
つまり【sinの差はcos,sin】
先生が引っ越してしまいました。
③ 子は孝行
子(cos)は(和)孝(cos)行(cos)
つまり【cosの和はcos,cos】
子は孝行しなさいということかな。
④ 子引く負け獅子
子(cos)引く(－)負け(－)獅(sin)子(sin)
つまり【cosの差は－をつけてsin,sin】
子が綱引きをして獅子に負けたと。それとも獅子が負けたのか？どういう状況よこれ。
とまあ、そんな感じで
語呂合わせは覚えていたほうが便利です。
それでは公式を覚えたか、練習問題で確認してみましょう。
【問題】
０＜α＜( π/２)＜β＜π である。
sinα＝２/３，sinβ＝３√５/７のとき，sin(α＋β) の値を求めよ。
【考え方】
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
【解答】
cos2α＝１－sin2α＝１－(２/３)2=５/９
０＜α＜ π／２ であるから
cosα＞０
よって
cosα＝√５/３
また
cos2β＝１－sin2＝１－(３√５/７)2＝４/４９
π/２＜β＜π より
cosβ＜０
よって
cosβ＝－２/７
ゆえに
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝(２/３)(－２/７)＋(√５/３)(３√５/７)
=１１/２１
【問題】
０＜α＜π/２ である。
sinα＝２/３ のとき，sin2α の値を求めよ。
【考え方】
sin2α＝２sinαcosα
【解答】
cos2α＝１－sin2α＝１－(２/３)2＝５/９
０＜α＜π/２ であるから
cosα＞０
よって
cosα＝√５/３
ゆえに
sin2α＝２sinαcosα
=２・(２/３)・(√５/３)
=４√５/９
【問題】
０≦θ＜2π であるとき、次の関数の最大値、最小値を求めよ。
f(θ)＝√２sinθ＋√６cosθ
【考え方】
関数を合成して考える。
【解答】
f(θ)＝√２sinθ＋√６cosθ
０≦θ＜２π であるから
π/３≦θ＋π/３<７π/３
sin(π/３)≦sin(θ＋π/３)<sin(７π/３)
－１≦sin(θ＋π/３)≦１
－２√２≦２√２sin(θ＋π/３)≦２√２
よって
θ＋π/３＝π/２
θ＝π/６ のとき最大
θ＋π/３＝３π/２
θ＝７π/６ のとき最小をとる。
したがって
最大値 ２√２(θ＝π/６)
最小値 －２√２(θ＝７π/６)
By スタッフ01