図形と計量の公式まとめ(問題付き)

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「数学Ⅰ|図形と計量」の公式まとめです。

(下の方に練習問題があります。)

 

図形と計量の公式

●三角比とは

三角比は単位円で

x座標が cos

y座標が sin

 

 

●90°-θ

sin(90°-θ)=cosθ

cos(90°-θ)=sinθ

tan(90°-θ)=1/tanθ

 

 

●180°-θ

sin(180°-θ)=sinθ

cos(180°-θ)=-cosθ

tan(180°-θ)=-tanθ

 

 

●三角比の相互関係

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●正弦定理

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●余弦定理

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●三角形の面積

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内接円の半径を r とすると

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以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

 

 

練習問題

【問題】
0°≦θ≦180° で cosθ=1/3 のとき、sinθ, cosθ の値を求めよ。

 

 

【考え方】
三角比の相互関係の公式に当てはめて求める。

 

 

【解答】
sin2θ=1-cos2θ=1-(1/3)2=8/9

0°≦θ≦180° より

sinθ≧0 であるから

sinθ=2√2/3

tanθ=sinθ/cosθ=(2√2/3)÷(1/3)=2√2

 


【問題】
0°<θ<90° で、cosθ=1/3 とする。

このとき、cos(180°-θ)+sin(90°-θ)+cos(90°-θ) の値を求めよ。

 

 

【解答】
cos(180°-θ)=-cosθ

sin(90°-θ)=cosθ

cos(90°-θ)=sinθ

より

cos(180°-θ)+sin(90°-θ)+cos(90°-θ)

=-cosθ+cosθ+sinθ

=sinθ

sin2θ=1-cos2θ=1-(1/3)2=8/9

0°<θ<90° より

sinθ≧0 であるから

sinθ=2√2/3

よって

(与式)=2√2/3

 


【問題】
△ABC において,BC=10, ∠B=30°,∠C=105° のとき

ACの長さと,外接円の半径Rを求めよ。

 

 

【解答】
∠A=180°-(∠B+∠C)=45° である。

正弦定理より

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2R=10/sin45°=10√2

よって

R=5√2

また

AC=2Rsin∠B

=10√2sin30°

=5√2

 


【問題】
△ABCにおいて,CA=5,AB=6,BC=4 である。

このとき sinAの値と、△ABCの面積を求めよ。

 

 

【解答】
余弦定理より

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sin2A=1-cos2A=1-(3/4)2=7/16

0°<A<180° より

sinA>0 であるから

sinA=√7/4

△ABCの面積は

△ABC=(1/2)・5・6・sinA=(1/2)・5・6・(√7/4)=15√7/4

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