絶対値なんて怖くない!|絶対値の外しかた(問題付き)

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テストを開いて絶対値が目に飛び込んできたとき、つい身構えてしまう人いませんか?

確かに普通の問題と比べると、考えないといけないことは増えます。

しかし、絶対値の本来の意味をしっかりと理解することで

絶対値は怖いものではなくなるのです!

 

絶対値の意味

絶対値とは、簡単にいうと

「原点(0)からの距離」

 

距離なので、符号(+-)に関係なく常に+です!

 

つまり、

「+」はそのまま「+」

「-」は符号がかわり「+」

となります。

 

絶対値を含む方程式・不等式

 

絶対値を含む方程式、不等式は‥‥

絶対値の中身の場合分けをすることにより、簡単に解くことができます。

A≧0 のとき |A|=A

A<0 のとき |A|=-A

 

いくつか例題を解いてみましょう。

 

 

練習問題

 

【問題】
次の方程式を解け。

 |2x-1|=3

 

 

【考え方】
絶対値の中身が「+」のときはそのまま、

「-」のときは符号をかえて絶対値を外す。

 

 

【解答】
2x-1≧0 すなわち x≧1/2 のとき

2x-1=3 より  x=2

これは x≧1/2 を満たす。

2x-1<0 すなわち x<1/2のとき

(2x-1)=3 より  x=-1

これは x<1/2 を満たす。

以上より x=2,-1

 

 

上記の通り、方程式の場合「出た答えが最初に指定した範囲を満たすか」考えなくてはいけません。

それでは、不等式も見てみましょう。

 


 

【問題】
次の不等式を解け。

 |x+2|>3

 

 

【考え方】
絶対値の中身が「+」のときはそのまま、

「-」のときは符号をかえて絶対値を外す。

 

 

【解答】
x+2≧0 すなわち x≧-2のとき

x+2>3 より x>1

x≧-2 との共通範囲は x>1

x+2<0 すなわち x<-2 のとき

(x+2)>3より x<-5

x<-2 との共通範囲は x<-5

以上より x<-5, 1<x

 

上記からわかるように、不等式の場合「出た範囲と最初に指定した範囲の共通部分」を考えなくてはなりません。

それでは、絶対値を複数含む方程式はどう解けばよいでしょうか。

 


 

【問題】 
次の方程式を解け。

3|x+2|=|2x-1|

 

 

【考え方】
それぞれの絶対値について

中身が「+」のときはそのまま、

「-」のときは符号をかえて絶対値を外す。

※x+2≧0,x+2<0,2x-1≧0,2x-1<0 について数直線でxの範囲を考える。

 

 

【解答】
x<-2 のとき

-3(x+2)=(2x-1) より x=-7

これは x<-2 を満たす。

-2≦x<1/2 のとき

3(x+2)=(2x-1) よりx=-1

これは -2<x<1/2 を満たす。

1/2≦x のとき

3(x+2)=2x-1 より x=-7

これは 1/2≦x を満たさない。

以上より x=-7,-1

 

 

上記からわかるように、「絶対値を複数含む方程式は場合分けする範囲をまとめる」ことに注意しなくてはなりません。

それでは最後に絶対値を複数含む不等式を解いてみましょう。

 


 

【問題】
次の不等式を解け。

|x+3|+|x-1|<6

 

 

 

【解答】
x<-3のとき

(x+3)(x-1)<6 より x>-4

x<-3 との共通範囲は -4<x<-3

-3≦x<1のとき

(x+3)(x-1)<6より 4<6

これは常に成り立つ。

1≦x のとき

(x+3)+(x-1)<6 より x<2

1≦x との共通範囲は 1≦x<2

以上より -4<x<-2

 

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