「sin(90°-θ)」「cos(180°-θ)」を θ で表しなさい。
この問題解けますか?
このような問題は、「数学Ⅰ|三角比」の単元で学習します。
丸暗記ではなく、意味をしっかりと理解できていますか?
ここでは、「90°-θ|180°-θ」について確認しましょう。
90°-θ の三角比
sin(90°-θ)=cosθ
cos(90°-θ)=sinθ
tan(90°-θ)=1/tanθ
「90°-θ」→ θ の変換は上記のようになります。
それでは、この公式について、単位円で考えてみましょう。
合同な三角形2つを上の図のように描きます。(上の方にあるのが90°-θ の三角形です。)
赤:cosθ
これが
赤:sin(90°-θ)
と同じ長さになっています。
同様に、
青:sinθ
これが
青:cos(90°-θ)
と同じ長さになっています。
つまり
sin(90°-θ)=cosθ
cos(90°-θ)=sinθ
tan(90°-θ)=sin(90°-θ)/cos(90°-θ)=cosθ/sinθ=1/tanθ
と導くことができます。
sin(180°-θ)=sinθ
cos(180°-θ)=-cosθ
tan(180°-θ)=-tanθ
「180°-θ」→ θ の変換は上記のようになります。
それでは、この公式について、単位円で考えてみましょう。
合同の三角形2つを上の図のように描きます。(左側にあるのが180°-θの三角形ですね。)
赤:cosθ
これが
赤:cos(180°-θ)
と同じ長さになっています。
※ただし、赤:cosθとcos(180°-θ) に関しては、向きが逆であることに注意!
同様に、
青:sinθ
これが
青:sin(180°-θ)
と同じ長さになっています。
つまり
sin(180°-θ)=sinθ
cos(180°-θ)=-cosθ
tan(180°-θ)=sin(180°-θ)/cos(180°-θ)=sinθ/-cosθ=-tan(180°-θ)
と導くことができます。
それでは、実際に問題を解いてみましょう。
【問題】
次の値を求めよ。
sin130°+sin170°-cos80°-cos40°
【解答】
sin130°=sin(180°-50°)=sin50°
=sin(90°-40°)=cos40°
sin170°=sin(180°-10°)=sin10°
cos80°=cos(90°-10°)=sin10°
よって
(与式)=cos40°+sin10°-sin10°-cos40°=0
【問題】
0°<θ<90° で,cosθ=1/3 とする。
このとき,cos(180°-θ)+sin(90°-θ)+cos(90°-θ) の値を求めよ。
【解答】
cos(180°-θ)=-cosθ
sin(90°-θ)=cosθ
cos(90°-θ)=sinθ
よって
(与式)=-cosθ+cosθ+sinθ=sinθ
ここで
sin2θ=1-cos2θ=1-1/9=8/9
sinθ>0 より,sinθ=(2√2)/3
よって
(与式)=sinθ=(2√2)/3
By スタッフ01