９０°－θ と１８０°－θ（問題付き）
「sin(９０°－θ)」「cos(１８０°－θ)」を θ で表しなさい。
この問題解けますか？
このような問題は、「数学Ⅰ｜三角比」の単元で学習します。
丸暗記ではなく、意味をしっかりと理解できていますか？
ここでは、「９０°－θ｜１８０°－θ」について確認しましょう。
９０°－θ の三角比
sin(９０°－θ)＝cosθ
cos(９０°－θ)=sinθ
tan(９０°－θ)=１／tanθ
「９０°－θ」→ θ の変換は上記のようになります。
それでは、この公式について、単位円で考えてみましょう。
合同な三角形２つを上の図のように描きます。（上の方にあるのが９０°－θ の三角形です。）
赤：cosθ
これが
赤：sin(９０°－θ)
と同じ長さになっています。
同様に、
青：sinθ
これが
青：cos(９０°－θ)
と同じ長さになっています。
つまり
sin(９０°－θ)＝cosθ
cos(９０°－θ)＝sinθ
tan(９０°－θ)＝sin(９０°－θ)／cos(９０°－θ)＝cosθ／sinθ＝１／tanθ
と導くことができます。
１８０°－θ の三角比
sin(１８０°－θ)＝sinθ
cos(１８０°－θ)＝－cosθ
tan(１８０°－θ)＝－tanθ
「１８０°－θ」→ θ の変換は上記のようになります。
それでは、この公式について、単位円で考えてみましょう。
合同の三角形２つを上の図のように描きます。（左側にあるのが１８０°－θの三角形ですね。）
赤：cosθ
これが
赤：cos(１８０°－θ)
と同じ長さになっています。
※ただし、赤：cosθとcos(１８０°－θ) に関しては、向きが逆であることに注意！
同様に、
青：sinθ
これが
青：sin(１８０°－θ)
と同じ長さになっています。
つまり
sin(１８０°－θ)＝sinθ
cos(１８０°－θ)＝－cosθ
tan(１８０°－θ)＝sin(１８０°－θ)／cos(１８０°－θ)＝sinθ／－cosθ＝－tan(１８０°－θ)
と導くことができます。
それでは、実際に問題を解いてみましょう。
【問題】
次の値を求めよ。
sin１３０°＋sin１７０°－cos８０°－cos４０°
【解答】
sin１３０°＝sin(１８０°－５０°)＝sin５０°
＝sin(９０°－４０°)＝cos４０°
sin１７０°=sin(１８０°－１０°)＝sin１０°
cos８０°＝cos(９０°－１０°)＝sin１０°
よって
(与式)=cos４０°＋sin１０°－sin１０°－cos４０°＝０
【問題】
０°＜θ＜９０° で，cosθ＝１／３ とする。
このとき，cos(１８０°－θ)＋sin(９０°－θ)＋cos(９０°－θ) の値を求めよ。
【解答】
cos(１８０°－θ)＝－cosθ
sin(９０°－θ)＝cosθ
cos(９０°－θ)＝sinθ
よって
(与式)＝－cosθ＋cosθ＋sinθ＝sinθ
ここで
sin2θ＝１－cos2θ＝１－１／９＝８／９
sinθ＞０ より，sinθ＝(２√２)／３
よって
(与式)＝sinθ＝(２√２)／３
By スタッフ01