90°-θ と180°-θ(問題付き)

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「sin(90°-θ)」「cos(180°-θ)」を θ で表しなさい。

この問題解けますか?

このような問題は、「数学Ⅰ|三角比」の単元で学習します。

丸暗記ではなく、意味をしっかりと理解できていますか?

ここでは、「90°-θ|180°-θ」について確認しましょう。

 

 

90°-θ の三角比

 

90°-θ の三角比

sin(90°-θ)=cosθ

cos(90°-θ)=sinθ

tan(90°-θ)=1/tanθ

 

「90°-θ」→ θ の変換は上記のようになります。

 

それでは、この公式について、単位円で考えてみましょう。

 

 

90°-θ → θ の考え方

 

Image

 

合同な三角形2つを上の図のように描きます。(上の方にあるのが90°-θ の三角形です。)

赤:cosθ

これが

赤:sin(90°-θ)

と同じ長さになっています。

 

同様に、

青:sinθ

これが

青:cos(90°-θ)

と同じ長さになっています。

 

つまり

sin(90°-θ)=cosθ

cos(90°-θ)=sinθ

tan(90°-θ)=sin(90°-θ)/cos(90°-θ)=cosθ/sinθ=1/tanθ

と導くことができます。

 

 

180°-θ の三角比

 

180°-θ の三角比

sin(180°-θ)=sinθ

cos(180°-θ)=-cosθ

tan(180°-θ)=-tanθ

 

「180°-θ」→ θ の変換は上記のようになります。

 

それでは、この公式について、単位円で考えてみましょう。

 

 

180°-θ → θ の考え方

 

Image

 

合同の三角形2つを上の図のように描きます。(左側にあるのが180°-θの三角形ですね。)

赤:cosθ

これが

赤:cos(180°-θ)

と同じ長さになっています。

※ただし、赤:cosθとcos(180°-θ) に関しては、向きが逆であることに注意!

 

同様に、

青:sinθ

これが

青:sin(180°-θ)

と同じ長さになっています。

 

つまり

sin(180°-θ)=sinθ

cos(180°-θ)=-cosθ

tan(180°-θ)=sin(180°-θ)/cos(180°-θ)=sinθ/-cosθ=-tan(180°-θ)

と導くことができます。

 

 

それでは、実際に問題を解いてみましょう。

 

練習問題

【問題】
次の値を求めよ。

sin130°+sin170°-cos80°-cos40°

 

 

 

【解答】
sin130°=sin(180°-50°)=sin50°
               =sin(90°-40°)=cos40°

sin170°=sin(180°-10°)=sin10°

cos80°=cos(90°-10°)=sin10°

よって

(与式)=cos40°+sin10°-sin10°-cos40°=0

 


【問題】
0°<θ<90° で,cosθ=1/3 とする。

このとき,cos(180°-θ)+sin(90°-θ)+cos(90°-θ) の値を求めよ。

 

 

 

【解答】
cos(180°-θ)=-cosθ

sin(90°-θ)=cosθ

cos(90°-θ)=sinθ

よって

(与式)=-cosθ+cosθ+sinθ=sinθ

ここで

sin2θ=1-cos2θ=1-1/9=8/9

sinθ>0 より,sinθ=(2√2)/3

よって

(与式)=sinθ=(2√2)/3

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