二項定理の賢い使い方(練習問題付き)

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二項定理とは…

(a+b)nCan-r br

 

2乗, 3乗の展開はできるけど…10乗なんかになったら…

というときに使える公式です。

 

それでは実際に問題を解いてみましょう。

 

 

練習問題

【問題】
(2x2-3)7 を展開せよ。

 

 

【解答】
(2x2-3)7

7C0(2x2)7(-3)07C1(2x2)6(-3)17C2(2x2)5(-3)27C3(2x2)4(-3)3

  +7C4(2x2)3(-3)47C5(2x2)2(-3)57C6(2x2)1(-3)67C7(2x2)0(-3)7

=1・128x14・1+7・64x12・(-3)+21・32x10・9+35・16x8・(-27)+35・8x6・81+21・4x4・(-243)+7・2x2・729+1・1・(-2187)

=128x14-1344x12+6048x10-15120x8+22680x6-20412x4+10206x2-2187

 

 

また、二項定理は係数を求めたいときにも便利です。


【問題】
(2x2-3)を展開して整理したとき、x10 の係数を求めよ。

 

 

【解答】
(2x2-3)7=7Cr(2x2)7-r・(-3)r

x10の項は 2(7-r)=10 つまり、r=2 のとき得られる。

7C2(2x2)5・(-3)2=6048x10

よって、求める係数は 6048

 

 

 

また、合わせて多項定理もおさえておきましょう。

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【問題】
(1+x+x2)8 を展開して整理したとき、x12 の係数を求めよ。

 

 

 

【解答】

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