数と式の公式まとめ(問題付き)
「数学Ⅰ｜数と式｜数学Ⅱ｜式と証明」の公式まとめです。
（下の方に練習問題があります。）
●展開・因数分解
ａ3＋ｂ3＝(ａ＋ｂ)3－３ａｂ(ａ＋ｂ)
ａ3－ｂ3＝(ａ－ｂ)3＋３ａｂ(ａ－ｂ)
(ａ＋ｂ)3=ａ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2＋ｂ3
(ａ－ｂ)3=ａ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2－ｂ3
(ａ＋ｂ＋ｃ)2=ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ
●絶対値
Ｘ≧０ のとき |Ｘ|＝Ｘ
X＜０のとき |Ｘ|＝－Ｘ
|Ｘ|＞Ａ ⇔ Ｘ＜－Ａ，Ａ＜Ｘ
|Ｘ|＜Ａ ⇔ －Ａ＜Ｘ＜Ａ
●無理数
ａ≧０ のとき √ａ2＝ａ
ａ＜０ のとき √ａ2＝－ａ
●２重根号
●ド・モルガンの法則
●命題の真偽
「ｐならばｑ」 が正しい ⇔ 真
「ｐならばｑ」 が正しくない ⇔ 偽
●必要条件・十分条件
ｐ⇒ｑ 真，ｑ⇒ｐ 真 ：ｐはｑの「必要十分条件」
ｐ⇒ｑ 真，ｑ⇒ｐ 偽 ：ｐはｑの「十分条件」
ｐ⇒ｑ 偽，ｑ⇒ｐ 真 ：ｐはｑの「必要条件」
ｐ⇒ｑ 偽，ｑ⇒ｐ 偽 ：ｐはｑの「必要条件でも、十分条件でもない」
確認できたところで、問題を解いてみましょう。
【問題】
次の式を展開せよ。
(４ｘ－３ｙ)3
【考え方】
(ａ－ｂ)3=ａ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2－ｂ3
【解答】
(４ｘ－３ｙ)3
＝(４ｘ)3＋３・(４ｘ)2・(－３ｙ)＋３・(４ｘ)・(－３ｙ)2＋(－３ｙ)3
=６４ｘ3－１４４ｘ2ｙ＋１０８ｘｙ2－２７ｙ3
【問題】
次の式の２重根号をはずして簡単にせよ。
【考え方】
【解答】
=√３－√２
【問題】
ｘｙ(ｙ－１)＝０ であることは ｘ＝ｙ(ｙ－１)＝０ であるための 〇〇である。
〇〇に当てはまる語句を求めよ。
【解答】
ｘｙ(ｙ－１)＝０ ⇔ ｘ＝０ または ｙ＝０ または ｙ＝１
ｘ＝ｙ(ｙ－１)＝０ ⇔ ｘ＝０ かつ (ｙ＝０ または ｙ＝１)
よって
ｘｙ(ｙ－１)＝０ ならばｘ＝ｙ(ｙ－１)＝０ は偽 （反例：ｘ＝１，ｙ＝０)
ｘ＝ｙ(ｙ－１)＝０ ならば ｘｙ(ｙ－１)＝０ は真
したがって
ｘｙ(ｙ－１)＝０ であることは ｘ＝ｙ(ｙ－１)＝０ であるための 必要条件ではあるが、十分条件ではない。
By スタッフ01