数と式の公式まとめ(問題付き)

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「数学Ⅰ|数と式|数学Ⅱ|式と証明」の公式まとめです。

(下の方に練習問題があります。)

 

数と式|式と証明の公式

 

●展開・因数分解

3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

 

 

●絶対値

X≧0 のとき |X|=X

X<0のとき |X|=-X

 

|X|>A ⇔ X<-A,A<X

|X|<A ⇔ -A<X<A

 

 

●無理数

a≧0 のとき √a2=a

a<0 のとき √a2=-a

 

 

●2重根号

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●ド・モルガンの法則

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●命題の真偽

「pならばq」 が正しい ⇔ 

「pならばq」 が正しくない ⇔ 

 

 

●必要条件・十分条件

p⇒q 真,q⇒p 真 :pはqの「必要十分条件」

p⇒q 真,q⇒p 偽 :pはqの「十分条件」

p⇒q 偽,q⇒p 真 :pはqの「必要条件」

p⇒q 偽,q⇒p 偽 :pはqの「必要条件でも、十分条件でもない」

 

 

確認できたところで、問題を解いてみましょう。

 

練習問題

 

【問題】
次の式を展開せよ。

(4x-3y)3

 

 

【考え方】
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

 

 

【解答】

(4x-3y)3

=(4x)3+3・(4x)2・(-3y)+3・(4x)・(-3y)2+(-3y)3

=64x3-144x2y+108xy2-27y3

 


 

【問題】
次の式の2重根号をはずして簡単にせよ。

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【考え方】

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【解答】

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=√3-√2

 


 

【問題】
xy(y-1)=0 であることは x=y(y-1)=0 であるための 〇〇である。

〇〇に当てはまる語句を求めよ。

 

 

 

【解答】
xy(y-1)=0 ⇔ x=0 または y=0 または y=1

x=y(y-1)=0 ⇔ x=0 かつ (y=0 または y=1)

よって

xy(y-1)=0 ならばx=y(y-1)=0 は偽 (反例:x=1,y=0)

x=y(y-1)=0 ならば xy(y-1)=0 は真

したがって

xy(y-1)=0 であることは x=y(y-1)=0 であるための 必要条件ではあるが、十分条件ではない。

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