2つの円の位置関係を見て学ぼう!(問題付き)

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2つの円の位置関係について、しっかり理解できていますか?

この単元は暗記するのではなく、図を想像して確認することがとても大事です。

 

 

2つの円の半径と中心間の距離

 

【1】 離れている

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d>r+r’


【2】 外接する

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d=r+r’


【3】 2点で交わる

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r-r’<d<r+r’


【4】 内接する

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d=r-r’


【5】 内部にある

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d<r-r’

 

この図を頭の中で描く練習をしましょう。

 

それでは実際に問題を解いてみます。

 

練習問題

【問題】
半径が異なる2つの円O,O´がある。2つの円は OO´=18 のとき外接し、 OO´=8 のとき内接する。2つの円の半径を求めよ。

 

 

 

【解答】
2つの円の半径をr,r´ とする。(r>r´)

2つの円が外接するとき、OO´=18 であるから

r+r´=18 ‥‥①

2つの円が内接するとき、OO´=8 であるから

r-r´=8 ‥‥②

①②より

r=13,r´=5 (r>r´ を満たす)

よって、2つの円の半径は 13,5

 


【問題】
半径8の円Oと、半径6の円O´が異なる2点で交わり、2円の中心間の距離をd=10とする。図のように、円O,O´の共通接線の接点をそれぞれ A,B とするとき、線分ABの長さを求めよ。

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【解答】

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O´から OA に引いた垂線を O´H とすると、OA⊥AB,O’B⊥BA であるから、四角形ABO’H は長方形となる。

ゆえに AB=HO´,HA=O’B=6

よって OH=OA-HA=8-6=2

△OO’H において、三平方の定理より

HO´2=OO´2-OH2=102-22=96

HO´>0 であるから HO´=4√6

したがって AB=HO´=4√6

 

 

このように、2つの円の半径と中心間の距離の関係を考えることによって解ける問題がたくさんあります。

ぜひ、おさえておきましょう!

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