2次方程式の解の存在範囲(問題付き)

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「2つの解がともに正であるとき・・・」「2つの解がともに1より小さいとき・・・」

こんな問題が、数学Ⅰの2次関数で出てきます。

どのようにして解いていますか?

ここではそんな「2次関数|2次方程式の解の存在範囲」について説明します。

 

解の存在範囲の考え方

 

1.判別式
  解の個数を確認します。(異なる2つの解:D>0/2つの解:D≧0 など)

2.軸の位置
  基準となる値と軸との位置関係を考えます。

3.f(p)の符号
  基準となる値pに関して、f(p)の符号を考えます。(※「=」が入るかどうかも丁寧に考えます。)

 

以上の3つを確認することで、取りこぼすことなく2次方程式の解の存在範囲を求めることができます。

 

それでは早速問題を解いてみましょう。

 

練習問題

 

【問題】

 

 

【考え方】
下に凸であるので、以下の3パターンが考えられる。
「2つの解がともに正」であるので、【Ⅲ】を求めたい。

1.判別式
  解が存在するので、判別式 D≧0
  (2つの解は重解でも可)

 

2.軸の位置
  
  「2つの解がともに正」であるので、軸>0

ここで【Ⅱ】【Ⅲ】に絞られる。

 

3.f(p)の符号
  【Ⅱ】はf(0)<0   【Ⅲ】はf(0)>0
  

  ちなみに、この問題の場合 y 切片は「3」であるので、
  【Ⅱ】は最初から考えなくてよい。

 

 

【解答】

よって、m≦-2√3

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