動く点と面積(問題付き)

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中学2年生「1次関数」で学習する
「辺上を点が動くときの面積」について解説します。

こんなやつです。

 

辺上を点Pが動くときの面積の考え方

①動く点Pの速さを確認し、x秒後に何cm進んでいるか考える。
②辺上を動くのに何秒かかるか、辺ごとに考える。
③求める面積の形の変化を、辺ごとに考える。(面積が増加する・一定・減少するなど)
④求める面積の底辺高さがどこになるか、辺ごとに考える。

 

ポイントは、時間・形の変化・辺の長さなどを「辺ごと」に考えることです。

 

それでは問題を解いてみましょう。

 

練習問題

 

【問題】
点Pは, 1辺8cmの正方形ABCDの辺上を, AからB,Cを通ってDまで毎秒1cmの速さで動く。
点PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をy㎠とするとき,xとyの関係を式に表しなさい。

 

 

【考え方】
点Pは1辺8cmの辺上を毎秒1cmの速さで動くので、x秒後にxcm進んでおり、1辺を動くのに8秒かかる。
①点Pが辺AB上を動く:△APDは増加し、「底辺AD(8cm)、高さAP(xcm)」の三角形
②点Pが辺BC上を動く:△APDは一定、「底辺AD(8cm)、高さ点PからADにおろした垂線(8cm)」の三角形
③点Pが辺CD上を動く:△APDは減少し、「底辺AD(8cm)、高さDP(8cm×3-xcm)」の三角形

 

 

【解答】

 


 

【問題】
点Pは, AB=6cm, BC=4cmの長方形ABCDの辺上を, BからC,Dを通ってAまで毎秒2cmの速さで動く。
点PがBを出発してからx秒後の△ABPの面積をy㎠とするとき,xとyの関係を式に表しなさい。

 

 

【考え方】
点Pは毎秒2cmで動くので、x秒後に2xcm進んだことになる。
また、点Pは辺BC上を2秒、辺CD上を3秒、辺DA上を2秒でそれぞれ動く。
①点Pが辺BC上を動く:△ABPは増加し、「底辺BP(2xcm)、高さAB(6cm)」の三角形
②点Pが辺CD上を動く:△ABPは一定、「底辺AB(6cm)、高さ点PからABにおろした垂線(4cm)」の三角形
③点Pが辺DA上を動く:△ABPは減少し、「底辺AB(6cm)、高さAD(4cm+6cm+4cm-2xcm)」の三角形

 

 

【解答】

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