図形と計量の公式まとめ(問題付き)
「数学Ⅰ｜図形と計量」の公式まとめです。
（下の方に練習問題があります。）
●三角比とは
三角比は単位円で
ｘ座標が cos
ｙ座標が sin
●９０°－θ
sin(９０°－θ)＝cosθ
cos(９０°－θ)＝sinθ
tan(９０°－θ)＝１/tanθ
●１８０°－θ
sin(１８０°－θ)＝sinθ
cos(１８０°－θ)＝－cosθ
tan(１８０°－θ)＝－tanθ
●三角比の相互関係
●正弦定理
●余弦定理
●三角形の面積
内接円の半径を r とすると
以上を踏まえて問題を解いてみましょう。
【問題】
０°≦θ≦１８０° で cosθ＝１/３ のとき、sinθ, cosθ の値を求めよ。
【考え方】
三角比の相互関係の公式に当てはめて求める。
【解答】
sin2θ＝１－cos2θ＝１－(１/３)2＝８/９
０°≦θ≦１８０° より
sinθ≧０ であるから
sinθ＝２√２/３
tanθ＝sinθ/cosθ＝(２√２/３)÷(１/３)=２√２
【問題】
０°＜θ＜９０° で、cosθ＝１/３ とする。
このとき、cos(１８０°－θ)＋sin(９０°－θ)＋cos(９０°－θ) の値を求めよ。
【解答】
cos(１８０°－θ)＝－cosθ
sin(９０°－θ)＝cosθ
cos(９０°－θ)＝sinθ
より
cos(１８０°－θ)＋sin(９０°－θ)＋cos(９０°－θ)
＝－cosθ＋cosθ＋sinθ
＝sinθ
sin2θ＝１－cos2θ＝１－(１/３)2＝８/９
０°＜θ＜９０° より
sinθ≧０ であるから
sinθ＝２√２/３
よって
(与式)＝２√２/３
【問題】
△ＡＢＣ において，ＢＣ＝１０， ∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝１０５° のとき
ＡＣの長さと，外接円の半径Ｒを求めよ。
【解答】
∠Ａ＝１８０°－(∠Ｂ＋∠Ｃ)＝４５° である。
正弦定理より
２Ｒ＝１０/sin４５°＝１０√２
よって
Ｒ＝５√２
また
ＡＣ＝２Ｒsin∠Ｂ
=１０√２sin３０°
＝５√２
【問題】
△ＡＢＣにおいて，ＣＡ＝５，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４ である。
このとき sinＡの値と、△ＡＢＣの面積を求めよ。
【解答】
余弦定理より
sin2Ａ＝１－cos2Ａ＝１－(３/４)2＝７/１６
０°＜Ａ＜１８０° より
sinＡ＞０ であるから
sinＡ＝√７/４
△ＡＢＣの面積は
△ＡＢＣ＝(１/２)・５・６・sinＡ＝(１/２)・５・６・(√７/４)＝１５√７/４
By スタッフ01